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त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन सीधी रेखाएँ उन बिंदुओं से जुड़ती हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। रेखाओं के कनेक्शन बिंदु त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिन्हें लैटिन अक्षरों (उदाहरण के लिए, ए, बी, सी) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। त्रिभुज की जुड़ने वाली सीधी रेखाओं को खंड कहा जाता है, जिन्हें आमतौर पर लैटिन अक्षरों द्वारा भी दर्शाया जाता है। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं:

• आयताकार.
• कुंठित.
• तीव्र कोणीय.
• बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।
• समबाहु.
• समद्विबाहु।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र

लंबाई और ऊंचाई के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस= ए*एच/2,
जहां a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, h आधार तक खींची गई ऊंचाई की लंबाई है।

बगुले का सूत्र

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
जहाँ √ वर्गमूल है, p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है। त्रिभुज की अर्ध-परिधि की गणना सूत्र p=(a+b+c)/2 का उपयोग करके की जा सकती है।

कोण और खंड की लंबाई के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = (ए*बी*पाप(α))/2,
जहाँ b,c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है, पाप(α) दोनों भुजाओं के बीच के कोण की ज्या है।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र, जिसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या और तीन भुजाएँ दी गई हैं

एस=पी*आर,
जहाँ p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र तीन भुजाओं और उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या पर आधारित है

एस= (ए*बी*सी)/4*आर,
जहाँ a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है, R त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक xOy प्रणाली में निर्देशांक हैं, जहां x भुज है, y कोटि है। एक समतल पर कार्तीय समन्वय प्रणाली xOy परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्ष Ox और Oy है जिसका उद्गम बिंदु O पर समान है। यदि इस तल पर बिंदुओं के निर्देशांक A(x1, y1), B(x2, y2) के रूप में दिए गए हैं ) और C(x3, y3 ), तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जो दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद से प्राप्त होता है।
एस = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
कहाँ || मॉड्यूल के लिए खड़ा है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री का होता है। एक त्रिभुज में ऐसा केवल एक ही कोण हो सकता है।

एक समकोण त्रिभुज के दो भुजाओं के क्षेत्रफल का सूत्र

एस= ए*बी/2,
जहाँ a,b पैरों की लंबाई है। पैर समकोण से सटे किनारे हैं।

कर्ण और न्यूनकोण के आधार पर समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए*बी*सिन(α)/ 2,
जहां ए, बी त्रिभुज के पैर हैं, और पाप (α) उस कोण की ज्या है जिस पर रेखाएं ए, बी प्रतिच्छेद करती हैं।

भुजा और सम्मुख कोण के आधार पर समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए*बी/2*टीजी(β),
जहां a, b त्रिभुज के पैर हैं, tan(β) उस कोण की स्पर्शरेखा है जिस पर पैर a, b जुड़े हुए हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो बराबर भुजाएँ होती हैं। इन भुजाओं को भुजाएँ कहा जाता है, और दूसरी भुजा को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्रों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए मूल सूत्र

एस=एच*सी/2,
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, h त्रिभुज की आधार से नीचे की ऊँचाई है।

भुजा और आधार के आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज का सूत्र

एस=(सी/2)* √(ए*ए – सी*सी/4),
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, a समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं में से एक का आकार है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (√3*ए*ए)/4,
जहाँ a समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है।

उपरोक्त सूत्र आपको त्रिभुज के आवश्यक क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देंगे। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको त्रिभुज के प्रकार और उपलब्ध डेटा पर विचार करना होगा जिसका उपयोग गणना के लिए किया जा सकता है।

निर्देश

1. दो पैरों के लिए S = a * b/2, a, b - पैर,

क्षेत्रफल की गणना के लिए दूसरा विकल्प कोटैंजेंट के बजाय ज्ञात कोणों की ज्याओं का उपयोग करता है। इस संस्करण में वर्गज्ञात भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है, प्रत्येक कोण की ज्या से गुणा किया जाता है और इन कोणों की दोहरी ज्या से विभाजित किया जाता है: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *पाप(α + β)). उदाहरण के लिए, उसी त्रिभुज के लिए जिसकी ज्ञात भुजा 15 सेमी है और जो उसके समीप है कोने 40° और 60° पर, क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार दिखाई देगी: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 वर्ग सेंटीमीटर।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के संस्करण में कोण शामिल होते हैं। क्षेत्रफल ज्ञात भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होगा, जिसे प्रत्येक कोण की स्पर्शरेखाओं से गुणा किया जाएगा और इन कोणों की स्पर्शरेखाओं के योग के दोगुने से विभाजित किया जाएगा: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). उदाहरण के लिए, पिछले चरणों में उपयोग किए गए त्रिभुज के लिए जिसकी भुजा 15 सेमी और आसन्न है कोने 40° और 60° पर, क्षेत्र की गणना इस प्रकार दिखाई देगी: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 वर्ग सेंटीमीटर।

त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज है जिसमें तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ होती हैं। एक त्रिभुज, जिसका एक कोण समकोण हो, समकोण त्रिभुज कहलाता है। समकोण त्रिभुजों के लिए, सामान्य त्रिभुजों के सभी सूत्र लागू होते हैं। हालाँकि, समकोण के गुणों को ध्यान में रखते हुए, उन्हें संशोधित किया जा सकता है।

निर्देश

क्षेत्र खोजने के लिए बुनियादी त्रिकोणआधार के माध्यम से इस प्रकार: S = 1/2 * b * h, जहां b पक्ष है त्रिकोण, और वह - त्रिकोण. ऊंचाई त्रिकोणशीर्ष से खींचा गया एक लम्ब है त्रिकोणविपरीत वाली रेखा पर. आयताकार के लिए त्रिकोणऊँचाई k b पैर a से मेल खाती है। इस प्रकार आपको क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र मिल जाएगा त्रिकोणकोण के साथ: S = 1/2 * a * b.

विचार करना। माना एक आयताकार में a = 3, b = 4. तब S = 1/2 * 3 * 4 = 6. गणना करें वर्गजो उसी त्रिकोण, लेकिन अब केवल एक पक्ष ज्ञात होने दें, b = 4. और कोण α, tan α = 3/4 भी ज्ञात है। फिर, त्रिकोणमितीय फलन स्पर्शरेखा α के व्यंजक से, पाद a व्यक्त करें: tg α = a/b => a = b * tan α। एक आयताकार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इस मान को सूत्र में रखें त्रिकोणऔर हमें मिलता है: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​​​= 6.

एक समद्विबाहु आयताकार के क्षेत्रफल की गणना को एक विशेष मामले के रूप में मानें त्रिकोण. समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। आयताकार के मामले में त्रिकोणयह ए = बी निकला। इस मामले के लिए पाइथागोरस प्रमेय लिखें: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2। इसके बाद, क्षेत्र की गणना के लिए इस मान को सूत्र में इस प्रकार रखें: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

यदि अंकित वृत्त r और परिवृत्त R की त्रिज्याएँ ज्ञात हों, तो वर्गआयताकार त्रिकोणसूत्र S = r^2 + 2 * r * R द्वारा गणना की जाती है। माना त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या r = 1 है, परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या त्रिकोणवृत्त आर = 5/2. तब S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.

विषय पर वीडियो

मददगार सलाह

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर घिरे वृत्त की त्रिज्या कर्ण के आधे के बराबर होती है: R = c / 2. एक समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या सूत्र r = (a + b – c) / 2 द्वारा पाई जाती है।

यह सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिसमें जोड़े में तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंड विमान के एक हिस्से को सीमित करते हैं। विभिन्न संयोजनों में त्रिभुज के कुछ मापदंडों (भुजाओं की लंबाई, कोण, अंकित या परिचालित वृत्त की त्रिज्या, ऊंचाई, आदि) का ज्ञान हमें विमान के इस सीमित खंड के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है।

निर्देश

यदि किसी त्रिभुज की दोनों भुजाओं (A और B) की लंबाई और उनके कोण (γ) का परिमाण ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल (S) भुजाओं की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर होगा और ज्ञात कोण की ज्या: S=A∗B∗sin(γ)/2.

यदि एक मनमाना त्रिभुज में सभी तीन पक्षों (ए, बी और सी) की लंबाई ज्ञात है, तो इसके क्षेत्र (एस) की गणना करने के लिए एक अतिरिक्त चर - अर्ध-परिधि (पी) पेश करना अधिक सुविधाजनक है। इस चर की गणना सभी पक्षों की लंबाई के आधे योग में की जाती है: p=(A+B+C)/2. इस चर का उपयोग करके इस चर पर अर्ध-परिधि के उत्पाद और पक्षों की लंबाई के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C))।

यदि, सभी भुजाओं (ए, बी और सी) की लंबाई के अलावा, एक मनमाना त्रिभुज के निकट परिचालित वृत्त की त्रिज्या (आर) की लंबाई भी ज्ञात है, तो आप अर्ध-परिधि के बिना कर सकते हैं - क्षेत्र (S) वृत्त की सभी भुजाओं की लंबाई और चतुर्भुज त्रिज्या के गुणनफल के अनुपात के बराबर होगा: S=A ∗B∗C/(4∗R)।

यदि किसी त्रिभुज के सभी कोणों (α, β और γ) का मान और उसकी एक भुजा (A) की लंबाई ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल (S) वर्ग के गुणनफल के अनुपात के बराबर होगा ज्ञात भुजा की लंबाई को इसके निकटवर्ती दो कोणों की ज्याओं द्वारा विपरीत एक कोण की दोहरी ज्या से ज्ञात किया जाता है: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α))।

यदि एक मनमाना त्रिभुज (α, β और γ) के सभी कोणों और परिचालित वृत्त की त्रिज्या (R) का मान ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल (S) त्रिज्या के वर्ग के दोगुने के बराबर होगा और सभी कोणों की ज्याएँ: S=2∗R²∗sin(α)∗ syn(β)∗sin(γ)।

विषय पर वीडियो

किसी त्रिभुज का आयतन ज्ञात करना वास्तव में एक गैर-मामूली कार्य है। तथ्य यह है कि एक त्रिभुज एक द्वि-आयामी आकृति है, अर्थात। यह पूरी तरह से एक ही तल में स्थित है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई आयतन नहीं है। निःसंदेह, आप ऐसी कोई चीज़ नहीं ढूंढ सकते जो अस्तित्व में न हो। लेकिन आइए हार न मानें! हम निम्नलिखित धारणा को स्वीकार कर सकते हैं: एक द्वि-आयामी आकृति का आयतन उसका क्षेत्रफल है। हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।

आपको चाहिये होगा

• कागज की शीट, पेंसिल, शासक, कैलकुलेटर

निर्देश

रूलर और पेंसिल का उपयोग करके कागज के एक टुकड़े पर चित्र बनाएं। त्रिभुज की सावधानीपूर्वक जांच करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इसमें वास्तव में कोई त्रिभुज नहीं है, क्योंकि यह एक समतल पर बनाया गया है। त्रिभुज की भुजाओं को लेबल करें: मान लीजिए कि एक भुजा "a", दूसरी भुजा "b", और तीसरी भुजा "c" है। त्रिभुज के शीर्षों को "ए", "बी" और "सी" अक्षरों से लेबल करें।

त्रिभुज की किसी भी भुजा को रूलर से मापें और परिणाम लिख लें। इसके बाद उसके विपरीत शीर्ष से मापी गई भुजा पर एक लंब स्थापित करें, ऐसा लंब त्रिभुज की ऊंचाई होगी। चित्र में दिखाए गए मामले में, लंबवत "एच" को शीर्ष "ए" से साइड "सी" पर बहाल किया गया है। परिणामी ऊंचाई को रूलर से मापें और माप परिणाम लिखें।

आपके लिए सटीक लंब को पुनर्स्थापित करना कठिन हो सकता है। इस मामले में, आपको एक अलग फॉर्मूला का उपयोग करना चाहिए। एक रूलर से त्रिभुज की सभी भुजाओं को मापें। इसके बाद, भुजाओं की परिणामी लंबाई को जोड़कर और उनके योग को आधे में विभाजित करके त्रिभुज "पी" की अर्ध-परिधि की गणना करें। अर्ध-परिधि का मान आपके पास होने पर, आप हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित का वर्गमूल लेना होगा: p(p-a)(p-b)(p-c)।

आपने त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल प्राप्त कर लिया है। त्रिभुज का आयतन ज्ञात करने की समस्या हल नहीं हुई है, लेकिन जैसा कि ऊपर बताया गया है, आयतन नहीं है। आप त्रि-आयामी दुनिया में एक ऐसा आयतन पा सकते हैं जो मूलतः एक त्रिकोण है। यदि हम कल्पना करें कि हमारा मूल त्रिभुज एक त्रि-आयामी पिरामिड बन गया है, तो ऐसे पिरामिड का आयतन हमारे द्वारा प्राप्त त्रिभुज के क्षेत्रफल द्वारा उसके आधार की लंबाई का गुणनफल होगा।

टिप्पणी

आप जितनी सावधानी से मापेंगे, आपकी गणना उतनी ही सटीक होगी।

स्रोत:

• कैलकुलेटर "एवरीथिंग टू एवरीथिंग" - संदर्भ मूल्यों के लिए एक पोर्टल
• त्रिभुज का आयतन

जैसा कि आपको अपने स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम से याद होगा, एक त्रिभुज तीन बिंदुओं से जुड़े तीन खंडों से बनी एक आकृति है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। एक त्रिभुज तीन कोण बनाता है, इसलिए आकृति का नाम। परिभाषा भिन्न हो सकती है. त्रिभुज को तीन कोणों वाला बहुभुज भी कहा जा सकता है, उत्तर भी सही होगा। त्रिभुजों को आकृतियों में समान भुजाओं की संख्या और कोणों के आकार के अनुसार विभाजित किया गया है। इस प्रकार, त्रिभुजों को क्रमशः समद्विबाहु, समबाहु और विषमकोण के साथ-साथ आयताकार, न्यून और अधिक के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए बहुत सारे सूत्र हैं। चुनें कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, अर्थात्। कौन सा फॉर्मूला उपयोग करना है यह आप पर निर्भर है। लेकिन यह केवल कुछ नोटेशनों पर ध्यान देने योग्य है जिनका उपयोग त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्रों में किया जाता है। तो, याद रखें:

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं,

h त्रिभुज की ऊँचाई है,

R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है,

p अर्ध-परिधि है.

यहां बुनियादी नोटेशन दिए गए हैं जो आपके लिए उपयोगी हो सकते हैं यदि आप अपना ज्यामिति पाठ्यक्रम पूरी तरह से भूल गए हैं। त्रिभुज के अज्ञात और रहस्यमय क्षेत्र की गणना के लिए सबसे समझने योग्य और सरल विकल्प नीचे दिए गए हैं। यह कठिन नहीं है और यह आपकी घरेलू जरूरतों और आपके बच्चों की मदद दोनों के लिए उपयोगी होगा। आइए याद रखें कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की यथासंभव आसानी से गणना कैसे करें:

हमारे मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = ½ * 2.2 सेमी * 2.5 सेमी = 2.75 वर्ग सेमी। याद रखें कि क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर (वर्ग सेमी) में मापा जाता है।

समकोण त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल.

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री के बराबर होता है (इसलिए इसे समकोण कहा जाता है)। एक समकोण दो लंबवत रेखाओं (त्रिभुज के मामले में, दो लंबवत खंड) से बनता है। एक समकोण त्रिभुज में केवल एक ही समकोण हो सकता है, क्योंकि... किसी एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इससे पता चलता है कि अन्य 2 कोणों को शेष 90 डिग्री साझा करनी चाहिए, उदाहरण के लिए 70 और 20, 45 और 45, आदि। तो, आपको मुख्य बात याद है, जो कुछ बचा है वह यह पता लगाना है कि समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। आइए कल्पना करें कि हमारे सामने एक ऐसा समकोण त्रिभुज है और हमें इसका क्षेत्रफल S ज्ञात करना है।

1. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने का सबसे सरल तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

हमारे मामले में, समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = 2.5 सेमी * 3 सेमी / 2 = 3.75 वर्ग सेमी।

सिद्धांत रूप में, अब त्रिभुज के क्षेत्रफल को अन्य तरीकों से सत्यापित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल यही उपयोगी होगा और रोजमर्रा की जिंदगी में मदद करेगा। लेकिन न्यून कोणों के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल मापने के भी विकल्प हैं।

2. अन्य गणना विधियों के लिए, आपके पास कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की एक तालिका होनी चाहिए। स्वयं निर्णय करें, समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए यहां कुछ विकल्प दिए गए हैं जिनका अभी भी उपयोग किया जा सकता है:

हमने पहले सूत्र का उपयोग करने का निर्णय लिया और कुछ छोटे धब्बों के साथ (हमने इसे एक नोटबुक में बनाया और एक पुराने रूलर और चांदा का उपयोग किया), लेकिन हमें सही गणना मिली:

एस = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)। हमें निम्नलिखित परिणाम मिले: 3.6=3.7, लेकिन कोशिकाओं के बदलाव को ध्यान में रखते हुए, हम इस बारीकियों को माफ कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल.

यदि आपके सामने एक समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र की गणना करने का कार्य है, तो सबसे आसान तरीका मुख्य का उपयोग करना है और जिसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए शास्त्रीय सूत्र माना जाता है।

लेकिन सबसे पहले, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, आइए जानें कि यह किस प्रकार की आकृति है। समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई समान होती है। इन दोनों पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, तीसरे पक्ष को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज के साथ भ्रमित न करें, अर्थात एक नियमित त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों। ऐसे त्रिभुज में कोणों या यूँ कहें कि उनके आकार की कोई विशेष प्रवृत्ति नहीं होती है। हालाँकि, समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर बने कोण बराबर होते हैं, लेकिन समान भुजाओं के बीच के कोण से भिन्न होते हैं। तो, आप पहले और मुख्य सूत्र को पहले से ही जानते हैं, यह पता लगाना बाकी है कि समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए अन्य कौन से सूत्र ज्ञात हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप विभिन्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। सभी तरीकों में से, सबसे आसान और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका ऊंचाई को आधार की लंबाई से गुणा करना और फिर परिणाम को दो से विभाजित करना है। हालाँकि, यह विधि एकमात्र से बहुत दूर है। नीचे आप पढ़ सकते हैं कि विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अलग से, हम विशिष्ट प्रकार के त्रिभुजों - आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर गौर करेंगे। हम प्रत्येक सूत्र के साथ एक संक्षिप्त व्याख्या देते हैं जो आपको इसका सार समझने में मदद करेगी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की सार्वभौमिक विधियाँ

नीचे दिए गए सूत्र विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को समझेंगे:

• ए, बी, सी - जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसकी तीन भुजाओं की लंबाई;
• r वृत्त की त्रिज्या है जिसे हमारे त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है;
• आर वृत्त की त्रिज्या है जिसे इसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है;
• α भुजाओं b और c से बने कोण का परिमाण है;
• β a और c के बीच के कोण का परिमाण है;
• γ भुजाओं a और b से बने कोण का परिमाण है;
• h हमारे त्रिभुज की ऊंचाई है, जो कोण α से भुजा a तक कम है;
• पी - पक्षों ए, बी और सी का आधा योग।

यह तार्किक रूप से स्पष्ट है कि आप इस प्रकार त्रिभुज का क्षेत्रफल क्यों ज्ञात कर सकते हैं। त्रिभुज को आसानी से एक समांतर चतुर्भुज में पूरा किया जा सकता है, जिसमें त्रिभुज की एक भुजा विकर्ण के रूप में कार्य करेगी। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई को उस पर खींची गई ऊंचाई के मान से गुणा करके पाया जाता है। विकर्ण इस सशर्त समांतर चतुर्भुज को 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हमारे मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सहायक समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।

एस=½ ए बी पाप γ

इस सूत्र के अनुसार, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं अर्थात a और b की लंबाई को उनसे बने कोण की ज्या से गुणा करके निकाला जाता है। यह सूत्र तार्किक रूप से पिछले सूत्र से लिया गया है। यदि हम कोण β से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो, एक समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार, जब हम भुजा a की लंबाई को कोण γ की ज्या से गुणा करते हैं, तो हमें त्रिभुज की ऊँचाई प्राप्त होती है, अर्थात h .

प्रश्नाधीन आकृति का क्षेत्रफल उसमें अंकित की जा सकने वाली वृत्त की आधी त्रिज्या को उसके परिमाप से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम उल्लिखित वृत्त की अर्ध-परिधि और त्रिज्या का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

एस= ए बी सी/4आर

इस सूत्र के अनुसार, हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह आकृति की भुजाओं के गुणनफल को उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से विभाजित करके पाया जा सकता है।

ये सूत्र सार्वभौमिक हैं, क्योंकि ये किसी भी त्रिभुज (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार) का क्षेत्रफल निर्धारित करना संभव बनाते हैं। यह अधिक जटिल गणनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।

विशिष्ट गुणों वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस आकृति की ख़ासियत यह है कि इसकी दोनों भुजाएँ एक साथ इसकी ऊँचाई हैं। यदि a और b पैर हैं, और c कर्ण बन जाता है, तो हम क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसकी दो भुजाएँ a लंबाई वाली और एक भुजा b लंबाई वाली है। नतीजतन, इसका क्षेत्रफल कोण γ की ज्या द्वारा भुजा a के वर्ग के गुणनफल को 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसमें सभी भुजाओं की लंबाई a के बराबर होती है और सभी कोणों का परिमाण α होता है। इसकी ऊंचाई भुजा a की लंबाई और 3 के वर्गमूल के आधे गुणनफल के बराबर है। एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको भुजा a के वर्ग को 3 के वर्गमूल से गुणा करना होगा और इससे विभाजित करना होगा। 4.

त्रिभुज सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम प्राथमिक विद्यालय में परिचित होते हैं। ज्यामिति पाठों में प्रत्येक छात्र के सामने यह प्रश्न आता है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। तो, किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की किन विशेषताओं से पहचाना जा सकता है? इस लेख में हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों को देखेंगे, और त्रिकोणों के प्रकारों का भी विश्लेषण करेंगे।

त्रिभुजों के प्रकार

आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल बिल्कुल अलग-अलग तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि ज्यामिति में तीन कोणों वाली एक से अधिक प्रकार की आकृतियाँ होती हैं। इन प्रकारों में शामिल हैं:

• कुंठित.
• समबाहु (सही)
• सही त्रिकोण।
• समद्विबाहु।

आइए प्रत्येक मौजूदा प्रकार के त्रिभुज पर करीब से नज़र डालें।

ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय यह ज्यामितीय आकृति सबसे आम मानी जाती है। जब एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है, तो यह विकल्प बचाव में आता है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, जैसा कि नाम से पता चलता है, सभी कोण न्यूनकोण होते हैं और इनका योग 180° होता है।

इस प्रकार का त्रिभुज भी बहुत सामान्य है, लेकिन न्यूनकोण त्रिभुज की तुलना में कुछ हद तक कम सामान्य है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, इसकी कई भुजाएँ और कोण ज्ञात हैं और आपको शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता है), कभी-कभी आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक है या नहीं। कोसाइन एक ऋणात्मक संख्या है.

बी, कोणों में से एक का मान 90° से अधिक है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15° या 3° भी)।

इस प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा, जिनके बारे में हम बाद में बात करेंगे।

नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज

एक नियमित बहुभुज एक आकृति है जिसमें n कोण शामिल होते हैं और जिनकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। यह एक नियमित त्रिभुज है। चूँकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, तो तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° का होता है।

एक नियमित त्रिभुज को उसके गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहा जाता है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक नियमित त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और इसके चारों ओर केवल एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और उनके केंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।

समबाहु प्रकार के अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज को भी अलग किया जा सकता है, जो इससे थोड़ा अलग है। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण सटे होते हैं) आधार होती है।

चित्र एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF को दर्शाता है जिसके कोण D और F बराबर हैं और DF आधार है।

सही त्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोण समकोण है, अर्थात 90° के बराबर। अन्य दो कोणों का योग 90° होता है।

ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, 90° के कोण के विपरीत स्थित, कर्ण है, जबकि शेष दो भुजाएँ पैर हैं। इस प्रकार के त्रिभुज के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:

पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

यह चित्र कर्ण AC और पैरों AB और BC के साथ एक समकोण त्रिभुज BAC दिखाता है।

समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने की आवश्यकता है।

आइए किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर आगे बढ़ें।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के मूल सूत्र

ज्यामिति में, दो सूत्र हैं जो अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, अर्थात् न्यूनकोण, अधिक, नियमित और समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

अगल-बगल और ऊंचाई से

जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र सार्वभौमिक है। ऐसा करने के लिए, किनारे की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। स्वयं सूत्र (आधार और ऊंचाई का आधा गुणनफल) इस प्रकार है:

जहां A किसी दिए गए त्रिभुज की भुजा है, और H त्रिभुज की ऊंचाई है।

उदाहरण के लिए, एक न्यूनकोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करना होगा और परिणामी मान को दो से विभाजित करना होगा।

हालाँकि, इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसकी एक भुजा का विस्तार करना होगा और उसके बाद ही उस पर एक ऊंचाई खींचनी होगी।

व्यवहार में, इस सूत्र का उपयोग दूसरों की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

दोनों तरफ और कोने पर

यह सूत्र, पिछले सूत्र की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। अर्थात्, विचाराधीन सूत्र पिछले सूत्र से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसका सूत्रीकरण इस प्रकार दिखता है:

एस = ½*sinO*ए*बी,

जहाँ A और B त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और O भुजा A और B के बीच का कोण है।

आइए हम याद करें कि किसी कोण की ज्या को उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी. एम. ब्रैडिस के नाम पर बनाई गई एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है।

अब आइए अन्य सूत्रों पर चलते हैं जो केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त हैं।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

सार्वभौमिक सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊंचाई खोजने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों से पाया जा सकता है।

इस प्रकार, समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है, या:

जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज के पैर हैं।

नियमित त्रिकोण

इस प्रकार की ज्यामितीय आकृति इस मायने में भिन्न है कि इसका क्षेत्रफल इसकी केवल एक भुजा के संकेतित मान से पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। इसलिए, जब "भुजाओं के बराबर होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ए 2 *√3/4,

जहाँ A समबाहु त्रिभुज की भुजा है।

बगुले का सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति की तीनों भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। बगुला का सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एस = √पी·(पी - ए)·(पी - बी)·(पी - सी),

जहाँ a, b और c किसी दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

कभी-कभी समस्या दी जाती है: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करना है।" इस मामले में, हमें एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने और उससे भुजा (या उसके वर्ग) का मान निकालने के लिए उस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है जो हम पहले से जानते हैं:

ए 2 = 4एस / √3.

परीक्षा कार्य

गणित में जीआईए समस्याओं में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, अक्सर चेकर पेपर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, आकृति के किसी एक पक्ष की ऊंचाई खींचना, कोशिकाओं से इसकी लंबाई निर्धारित करना और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है:

अतः लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद आपको किसी भी प्रकार की त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में कोई परेशानी नहीं होगी।