त्रिभुज एक प्रसिद्ध आकृति है। और यह, इसके रूपों की समृद्ध विविधता के बावजूद। आयताकार, समबाहु, तीव्र, समद्विबाहु, कुंठित। उनमें से प्रत्येक कुछ अलग है। लेकिन किसी के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना आवश्यक है।
भुजाओं की लंबाई या ऊँचाई का उपयोग करने वाले सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य सूत्र
उनमें अपनाए गए पदनाम: पक्ष - ए, बी, सी; ए, एन इन, एन एस पर संबंधित पक्षों पर ऊंचाई।
1. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ½ के उत्पाद के रूप में की जाती है, भुजा और उस पर ऊँचाई कम होती है। एस = ½ * ए * एन ए। इसी प्रकार अन्य दो पक्षों के लिए भी सूत्र लिखना चाहिए।
2. बगुले का सूत्र, जिसमें अर्ध-परिधि दिखाई देती है (पूर्ण परिधि के विपरीत, इसे छोटे अक्षर p से निरूपित करने की प्रथा है)। अर्ध-परिधि की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: सभी पक्षों को जोड़ें और उन्हें 2 से विभाजित करें। अर्ध-परिधि सूत्र: p \u003d (a + b + c) / 2। फिर \ के क्षेत्र के लिए समानता u200b आंकड़ा इस तरह दिखता है: एस \u003d √ (पी * (पी - ए) * (पी - सी) * (पी - सी))।
3. यदि आप अर्ध-परिधि का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो ऐसा सूत्र काम में आएगा, जिसमें केवल पक्षों की लंबाई मौजूद है: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( बी + सी - ए) * (ए + सी - सी) * (ए + बी - सी))। यह पिछले वाले की तुलना में कुछ लंबा है, लेकिन अगर आप अर्ध-परिधि का पता लगाना भूल गए हैं तो यह मदद करेगा।
सामान्य सूत्र जिसमें त्रिभुज के कोण प्रकट होते हैं
सूत्रों को पढ़ने के लिए आवश्यक अंकन: α, β, γ - कोण। वे क्रमशः ए, बी, सी के विपरीत दिशा में स्थित हैं।
1. इसके अनुसार दो भुजाओं का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है। वह है: एस = ½ ए * बी * पाप γ। अन्य दो मामलों के सूत्र इसी तरह लिखे जाने चाहिए।
2. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा और तीन ज्ञात कोणों से की जा सकती है। एस \u003d (ए 2 * पाप β * पाप γ) / (2 पाप α)।
3. एक सूत्र भी है जिसका एक ज्ञात पक्ष और उसके साथ दो कोण हैं। ऐसा दिखता है: एस = सी 2/(2 (सीटीजी α + सीटीजी β))।
अंतिम दो सूत्र सबसे सरल नहीं हैं। उन्हें याद रखना काफी मुश्किल होता है।
उस स्थिति के लिए सामान्य सूत्र जब खुदा या परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या ज्ञात हो
अतिरिक्त पदनाम: आर, आर — रेडी। पहले का उपयोग खुदा सर्कल के त्रिज्या के लिए किया जाता है। दूसरा वर्णित के लिए है।
1. प्रथम सूत्र जिसके द्वारा किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है, अर्धपरिधि से संबंधित है। एस = आर * आर। दूसरे तरीके से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: S \u003d ½ r * (a + b + c)।
2. दूसरे मामले में, आपको त्रिभुज के सभी पक्षों को गुणा करना होगा और उन्हें घेरे हुए वृत्त की चौगुनी त्रिज्या से विभाजित करना होगा। शाब्दिक रूप से, यह इस तरह दिखता है: S \u003d (a * b * c) / (4R)।
3. तीसरी स्थिति आपको पक्षों को जाने बिना करने की अनुमति देती है, लेकिन आपको तीनों कोणों के मूल्यों की आवश्यकता है। एस \u003d 2 आर 2 * पाप α * पाप β * पाप γ।
विशेष मामला: समकोण त्रिभुज
यह सबसे सरल स्थिति है, क्योंकि केवल दोनों पैरों की लंबाई की आवश्यकता होती है। उन्हें लैटिन अक्षरों ए और बी द्वारा निरूपित किया जाता है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसमें जोड़े गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है।
गणितीय रूप से, यह इस तरह दिखता है: S = ½ a * b। उसे याद रखना सबसे आसान है। क्योंकि यह एक आयत के क्षेत्रफल के सूत्र की तरह दिखता है, केवल एक अंश दिखाई देता है, जो आधा दर्शाता है।
विशेष मामला: समद्विबाहु त्रिभुज
चूँकि इसकी दो भुजाएँ बराबर हैं, इसके क्षेत्रफल के कुछ सूत्र कुछ सरल लगते हैं। उदाहरण के लिए, हीरोन का सूत्र, जो एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, निम्नलिखित रूप लेता है:
S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in))।
यदि आप इसे रूपांतरित करते हैं, तो यह छोटा हो जाएगा। इस स्थिति में, एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए हीरोन का सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है:
एस = ¼ में √ (4 * ए 2 - बी 2)।
क्षेत्र सूत्र एक मनमाना त्रिभुज की तुलना में कुछ सरल दिखता है यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो। एस \u003d ½ ए 2 * पाप β।
विशेष मामला: समबाहु त्रिभुज
आमतौर पर, उसके बारे में समस्याओं में, पक्ष जाना जाता है या किसी तरह पहचाना जा सकता है। फिर ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
एस = (ए 2 √3) / 4।
यदि त्रिकोण को चेकर पेपर पर चित्रित किया गया है तो क्षेत्र को खोजने के लिए कार्य
सबसे सरल स्थिति तब होती है जब एक समकोण त्रिभुज खींचा जाता है ताकि उसके पैर कागज की रेखाओं से मेल खाते हों। फिर आपको केवल पैरों में फिट होने वाली कोशिकाओं की संख्या गिनने की जरूरत है। फिर उन्हें गुणा करें और दो से विभाजित करें।
जब त्रिभुज तीव्र या अधिक कोण वाला हो, तो उसे एक आयत के रूप में खींचा जाना चाहिए। तब परिणामी आकृति में 3 त्रिभुज होंगे। एक वह है जो टास्क में दिया गया है। और अन्य दो सहायक और आयताकार हैं। पिछले दो के क्षेत्रों को ऊपर वर्णित विधि द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। फिर आयत के क्षेत्र की गणना करें और उसमें से घटाएं जो सहायक लोगों के लिए गणना की गई हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
बहुत अधिक कठिन वह स्थिति है जिसमें त्रिभुज की कोई भी भुजा कागज की रेखाओं से मेल नहीं खाती है। फिर इसे एक आयत में अंकित किया जाना चाहिए ताकि मूल आकृति के कोने इसके किनारों पर हों। इस स्थिति में, तीन सहायक समकोण त्रिभुज होंगे।
हीरोन के सूत्र पर एक समस्या का उदाहरण
स्थिति। कुछ त्रिभुज की भुजाएँ हैं। वे 3, 5 और 6 सेमी के बराबर हैं।आपको इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है।
अब आप उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। वर्गमूल के अंतर्गत चार संख्याओं का गुणनफल होता है: 7, 4, 2 और 1। यानी क्षेत्रफल √ (4 * 14) = 2 √ (14) है।
यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप 14 का वर्गमूल ले सकते हैं। यह 3.74 है। तब क्षेत्रफल 7.48 के बराबर होगा।
उत्तर। एस \u003d 2 √14 सेमी 2 या 7.48 सेमी 2।
समकोण त्रिभुज के साथ समस्या का एक उदाहरण
स्थिति। एक समकोण त्रिभुज का एक पाद दूसरे से 31 सेमी लंबा है। त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 होने पर उनकी लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।
समाधान। आपको दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा। पहले क्षेत्र के साथ करना है। दूसरा पैरों के अनुपात के साथ है, जो समस्या में दिया गया है।
180 \u003d ½ ए * बी;
ए \u003d बी + 31।
सबसे पहले, "ए" का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यह पता चला: 180 \u003d ½ (+31 में) * में। इसकी केवल एक अज्ञात मात्रा है, इसलिए इसे हल करना आसान है। कोष्ठक खोलने के बाद, एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 2 + 31 में - 360 \u003d 0. यह "में" के लिए दो मान देता है: 9 और - 40। दूसरा नंबर उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं है , क्योंकि त्रिभुज की भुजा की लंबाई का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।
यह दूसरे चरण की गणना करने के लिए बना हुआ है: परिणामी संख्या में 31 जोड़ें। यह 40 निकला। ये समस्या में मांगी गई मात्राएँ हैं।
उत्तर। त्रिभुज के पैर 9 और 40 सेमी हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल, भुजा और कोण से भुजा ज्ञात करने का कार्य
स्थिति। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी2 है। यदि दूसरी भुजा 15 सेमी है, और उनके बीच का कोण 30º है, तो इसकी एक भुजा की गणना करना आवश्यक है।
समाधान। स्वीकृत पदनामों के आधार पर, वांछित पक्ष "ए", ज्ञात "बी" है, दिया गया कोण "γ" है। फिर क्षेत्र सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
60 \u003d ½ ए * 15 * पाप 30º। यहाँ 30 डिग्री की ज्या 0.5 है।
परिवर्तनों के बाद, "ए" 60/(0.5 * 0.5 * 15) के बराबर हो जाता है। वह 16 है।
उत्तर। वांछित पक्ष 16 सेमी है।
समकोण त्रिभुज में खुदे हुए वर्ग की समस्या
स्थिति। 24 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का शीर्ष त्रिभुज के समकोण के साथ मेल खाता है। अन्य दो पैरों पर झूठ बोलते हैं। तीसरा कर्ण का है। एक पाद की लम्बाई 42 सेमी. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?
समाधान। दो समकोण त्रिभुजों पर विचार करें। पहले वाले को कार्य में निर्दिष्ट किया गया है। दूसरा मूल त्रिकोण के ज्ञात पैर पर आधारित है। वे समान हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य कोण है और समानांतर रेखाओं से बनता है।
तब उनके पैरों का अनुपात बराबर होता है। छोटे त्रिभुज की भुजाएँ 24 सेमी (वर्ग की भुजा) और 18 सेमी (वर्ग की भुजा 42 सेमी घटाकर 24 सेमी दी गई भुजा) हैं। बड़े त्रिभुज के संबंधित पैर 42 सेमी और x सेमी हैं। यह "x" है जो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आवश्यक है।
18/42 \u003d 24 / x, यानी x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (सेमी)।
तब क्षेत्रफल 56 और 42 के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे दो से विभाजित किया जाता है, अर्थात 1176 सेमी 2।
उत्तर। वांछित क्षेत्र 1176 सेमी 2 है।
क्षेत्र की अवधारणा
किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्र की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग के रूप में इस तरह की आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के एक इकाई क्षेत्र के लिए, हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे, जिसकी भुजा एक के बराबर है। पूर्णता के लिए, हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफलों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करते हैं।
संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल भी बराबर होते हैं।
संपत्ति 2:किसी भी संख्या को कई अंकों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल इसे बनाने वाले सभी आंकड़ों के क्षेत्रों के मूल्यों के योग के बराबर है।
एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 1
यह स्पष्ट है कि त्रिभुज की एक भुजा आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ ($5$ कोशिकाओं के बाद से) और दूसरी $6$ ($6$ कोशिकाओं के बाद से) है। इसलिए, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है
उत्तर: $15$।
अगला, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विधियों पर विचार करें, अर्थात् ऊंचाई और आधार का उपयोग करके, हीरोन सूत्र और एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।
ऊंचाई और आधार का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
प्रमेय 1
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में उस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।
गणितीय रूप से यह ऐसा दिखता है
$S=\frac(1)(2)αh$
जहां $a$ पक्ष की लंबाई है, $h$ इसके लिए खींची गई ऊंचाई है।
सबूत।
त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जहाँ $AC=α$। ऊंचाई $BH$ इस तरफ खींची गई है और $h$ के बराबर है। चलिए इसे वर्ग $AXYC$ तक बनाते हैं जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।
आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot एचसी$
इसलिए, त्रिकोण का वांछित क्षेत्र, संपत्ति 2 के अनुसार, के बराबर है
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण 2
नीचे दी गई आकृति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि सेल का क्षेत्रफल एक के बराबर है
इस त्रिभुज का आधार $9$ है (क्योंकि $9$ $9$ सेल हैं)। ऊंचाई भी $9$ है। तब, प्रमेय 1 द्वारा, हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
उत्तर: $40.5$।
हीरोन का सूत्र
प्रमेय 2
यदि हमें एक त्रिभुज $α$, $β$ और $γ$ की तीन भुजाएँ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज की अर्ध-परिधि है।
सबूत।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है
$ज^2=α^2-(β-x)^2$
$एच^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
इन दो संबंधों से हम समानता प्राप्त करते हैं
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
चूंकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, फिर $α+β+γ=2ρ$, इसलिए
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप विभिन्न सूत्रों का प्रयोग कर सकते हैं। सभी तरीकों में से, सबसे आसान और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आधार की लंबाई से ऊंचाई का गुणन है, और फिर परिणाम को दो से विभाजित करना है। हालाँकि, यह विधि केवल एक से दूर है। नीचे आप पढ़ सकते हैं कि विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।
अलग से, हम विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज - आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु के क्षेत्रफल की गणना के तरीकों पर विचार करेंगे। हम प्रत्येक सूत्र के साथ एक संक्षिप्त विवरण देते हैं जो आपको इसके सार को समझने में मदद करेगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सार्वभौमिक तरीके
नीचे दिए गए सूत्र विशेष अंकन का उपयोग करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को समझेंगे:
- ए, बी, सी उस आकृति के तीन पक्षों की लंबाई हैं जिन पर हम विचार कर रहे हैं;
- आर एक वृत्त की त्रिज्या है जिसे हमारे त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है;
- R उस वृत्त की त्रिज्या है जिसे उसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है;
- α - भुजाओं b और c द्वारा निर्मित कोण का मान;
- β a और c के बीच का कोण है;
- γ - ए और बी पक्षों द्वारा गठित कोण का मान;
- एच हमारे त्रिकोण की ऊंचाई है, कोण α से एक तरफ कम हो गया है;
- p भुजाओं a, b और c के योग का आधा है।
यह तार्किक रूप से स्पष्ट है कि आप इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल क्यों ज्ञात कर सकते हैं। त्रिभुज एक समांतर चतुर्भुज के रूप में आसानी से पूरा हो जाता है, जिसमें त्रिभुज की एक भुजा एक विकर्ण के रूप में कार्य करेगी। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके एक पक्ष की लंबाई को उसके द्वारा खींची गई ऊँचाई के मान से गुणा करके पाया जाता है। विकर्ण इस सशर्त समांतर चतुर्भुज को 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हमारे मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सहायक समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।
एस = आधा ए बी पाप γ
इस सूत्र के अनुसार, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं की लंबाई को गुणा करके पाया जाता है, अर्थात a और b, उनके द्वारा बनाए गए कोण की ज्या से। यह सूत्र तार्किक रूप से पिछले वाले से लिया गया है। यदि हम कोण β से भुजा b तक की ऊँचाई को कम करते हैं, तो समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार, भुजा a की लंबाई को कोण γ की साइन से गुणा करने पर, हमें त्रिभुज की ऊँचाई मिलती है, अर्थात h।
विचाराधीन आकृति का क्षेत्रफल वृत्त की आधी त्रिज्या को गुणा करके पाया जाता है, जिसे इसमें अंकित किया जा सकता है, इसकी परिधि से। दूसरे शब्दों में, हम अर्द्धपरिधि और उल्लिखित वृत्त की त्रिज्या का गुणनफल ज्ञात करते हैं।
एस = ए बी सी/4आर
इस सूत्र के अनुसार, हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है, वह आकृति के चारों ओर परिचालित वृत्त की 4 त्रिज्याओं द्वारा आकृति की भुजाओं के गुणनफल को विभाजित करके पाया जा सकता है।
ये सूत्र सार्वभौमिक हैं, क्योंकि वे किसी भी त्रिभुज (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु, समकोण) का क्षेत्रफल निर्धारित करना संभव बनाते हैं। यह अधिक जटिल गणनाओं की सहायता से किया जा सकता है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।
विशिष्ट गुणों वाले त्रिभुजों के क्षेत्र
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस आकृति की एक विशेषता यह है कि इसकी दो भुजाएँ एक साथ इसकी ऊँचाई हैं। यदि a और b पैर हैं, और c कर्ण बन जाता है, तो क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जाता है:
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसकी लंबाई a के साथ दो भुजाएँ और लंबाई b के साथ एक भुजा है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल कोण γ की ज्या द्वारा भुजा a के वर्ग के गुणनफल को 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसमें सभी भुजाओं की लंबाई a तथा सभी कोणों का मान α होता है। इसकी ऊंचाई भुजा की लंबाई का आधा उत्पाद 3 का वर्गमूल है। एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको भुजा के वर्ग को 3 के वर्गमूल से गुणा करके 4 से विभाजित करना होगा।
क्षेत्र की अवधारणा
किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्र की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग के रूप में इस तरह की आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के एक इकाई क्षेत्र के लिए, हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे, जिसकी भुजा एक के बराबर है। पूर्णता के लिए, हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफलों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करते हैं।
संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल भी बराबर होते हैं।
संपत्ति 2:किसी भी संख्या को कई अंकों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल इसे बनाने वाले सभी आंकड़ों के क्षेत्रों के मूल्यों के योग के बराबर है।
एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 1
यह स्पष्ट है कि त्रिभुज की एक भुजा आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ ($5$ कोशिकाओं के बाद से) और दूसरी $6$ ($6$ कोशिकाओं के बाद से) है। इसलिए, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है
उत्तर: $15$।
अगला, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विधियों पर विचार करें, अर्थात् ऊंचाई और आधार का उपयोग करके, हीरोन सूत्र और एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।
ऊंचाई और आधार का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
प्रमेय 1
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में उस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।
गणितीय रूप से यह ऐसा दिखता है
$S=\frac(1)(2)αh$
जहां $a$ पक्ष की लंबाई है, $h$ इसके लिए खींची गई ऊंचाई है।
सबूत।
त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जहाँ $AC=α$। ऊंचाई $BH$ इस तरफ खींची गई है और $h$ के बराबर है। चलिए इसे वर्ग $AXYC$ तक बनाते हैं जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।
आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot एचसी$
इसलिए, त्रिकोण का वांछित क्षेत्र, संपत्ति 2 के अनुसार, के बराबर है
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण 2
नीचे दी गई आकृति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि सेल का क्षेत्रफल एक के बराबर है
इस त्रिभुज का आधार $9$ है (क्योंकि $9$ $9$ सेल हैं)। ऊंचाई भी $9$ है। तब, प्रमेय 1 द्वारा, हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
उत्तर: $40.5$।
हीरोन का सूत्र
प्रमेय 2
यदि हमें एक त्रिभुज $α$, $β$ और $γ$ की तीन भुजाएँ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज की अर्ध-परिधि है।
सबूत।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है
$ज^2=α^2-(β-x)^2$
$एच^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
इन दो संबंधों से हम समानता प्राप्त करते हैं
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
चूंकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, फिर $α+β+γ=2ρ$, इसलिए
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
त्रिभुज सबसे आम ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही परिचित हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, इसका प्रश्न ज्यामिति के पाठ में प्रत्येक छात्र के सामने आता है। तो, किसी दिए गए आंकड़े के क्षेत्र को खोजने की क्या विशेषताएं प्रतिष्ठित की जा सकती हैं? इस लेख में, हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों पर विचार करेंगे और साथ ही त्रिभुजों के प्रकारों का विश्लेषण भी करेंगे।
त्रिभुजों के प्रकार
आप एक त्रिकोण का क्षेत्रफल पूरी तरह से अलग-अलग तरीकों से पा सकते हैं, क्योंकि ज्यामिति में एक से अधिक प्रकार की आकृति होती है जिसमें तीन कोण होते हैं। इन प्रकारों में शामिल हैं:
- कुंद।
- समबाहु (सही)।
- सही त्रिकोण।
- समद्विबाहु।
आइए प्रत्येक मौजूदा प्रकार के त्रिकोणों पर करीब से नज़र डालें।
ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में ऐसी ज्यामितीय आकृति को सबसे आम माना जाता है। जब एक मनमाना त्रिकोण बनाना आवश्यक हो जाता है, तो यह विकल्प बचाव के लिए आता है।
एक तीव्र त्रिभुज में, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, सभी कोण तीव्र होते हैं और 180° तक जुड़ते हैं।
ऐसा त्रिकोण भी बहुत आम है, लेकिन एक न्यून त्रिकोण की तुलना में कुछ कम आम है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, आप इसकी कई भुजाओं और कोणों को जानते हैं और शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता है), कभी-कभी आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक कोण है या नहीं। कोसाइन एक ऋणात्मक संख्या है।
एक कोण का मान 90° से अधिक होता है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15° या 3° भी)।
इस प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानने की आवश्यकता है, जिसके बारे में हम आगे बात करेंगे।
नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज
एक नियमित बहुभुज एक आकृति है जिसमें n कोण शामिल होते हैं, जिसमें सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। यह सही त्रिकोण है। चूँकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, इसलिए तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° का होता है।
समकोण त्रिभुज को इसके गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहा जाता है।
यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक नियमित त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है और इसके चारों ओर केवल एक वृत्त ही परिचालित किया जा सकता है, और उनके केंद्र एक बिंदु पर स्थित होते हैं।
समबाहु प्रकार के अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज को भी अलग किया जा सकता है, जो इससे थोड़ा अलग है। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण जुड़ते हैं) आधार होती है।
चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF दिखाया गया है, जिसके कोण D और F बराबर हैं, और DF आधार है।
सही त्रिकोण
एक समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोण समकोण है, अर्थात 90° के बराबर है। अन्य दो कोणों का योग 90° होता है।
ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, जो 90 ° के कोण के विपरीत स्थित है, कर्ण है, जबकि इसके अन्य दो भाग पैर हैं। इस प्रकार के त्रिभुजों के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:
पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।
चित्र में कर्ण AC और पैर AB और BC के साथ एक समकोण त्रिभुज BAC दिखाया गया है।
समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने की आवश्यकता है।
आइए किसी दिए गए आंकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर चलते हैं।
क्षेत्र खोजने के लिए मूल सूत्र
ज्यामिति में, दो सूत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो कि अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त होते हैं, अर्थात् तीव्र-कोण वाले, अधिक कोण वाले, नियमित और समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए। आइए उनमें से प्रत्येक का विश्लेषण करें।
अगल-बगल और ऊंचाई से
हम जिस आकृति पर विचार कर रहे हैं उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र सार्वभौमिक है। ऐसा करने के लिए, पक्ष की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। सूत्र ही (आधार और ऊंचाई का आधा उत्पाद) इस प्रकार है:
जहाँ A दिए गए त्रिभुज की भुजा है और H त्रिभुज की ऊँचाई है।
उदाहरण के लिए, एक तीव्र-कोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करना होगा और परिणामी मान को दो से विभाजित करना होगा।
हालाँकि, इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसकी एक भुजा को जारी रखने की आवश्यकता है और उसके बाद ही इसकी ऊँचाई खींचें।
व्यवहार में, यह सूत्र दूसरों की तुलना में अधिक बार उपयोग किया जाता है।
दो किनारे और एक कोना
यह सूत्र, पिछले वाले की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। अर्थात्, विचाराधीन सूत्र पिछले वाले से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसका शब्दांकन इस प्रकार है:
एस = ½*sinO*ए*बी,
जहाँ A और B त्रिभुज की भुजाएँ हैं और O भुजाओं A और B के बीच का कोण है।
याद रखें कि एक कोण की ज्या को एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है जिसका नाम उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी. एम. ब्रैडिस के नाम पर रखा गया है।
और अब अन्य सूत्रों की ओर बढ़ते हैं जो केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त हैं।
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
सार्वभौमिक सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊँचाई खींचने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों से पाया जा सकता है।
तो, समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के उत्पाद का आधा है, या:
जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज के पाद हैं।
सही त्रिकोण
इस प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि इसका क्षेत्रफल इसके केवल एक भुजा के निर्दिष्ट मान के साथ पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। इसलिए, "भुजाएँ समान होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें" के कार्य को पूरा करने के बाद, आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
एस = ए 2 *√3 / 4,
जहाँ A एक समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
हीरोन का सूत्र
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति के तीनों पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता है। हीरोन का सूत्र इस प्रकार है:
एस = √p (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी),
जहाँ a, b और c दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
कभी-कभी कार्य दिया जाता है: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके किनारे की लंबाई का पता लगाना है।" इस मामले में, आपको एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करना होगा और इससे भुजा (या इसके वर्ग) का मान प्राप्त करना होगा:
ए 2 \u003d 4S / √3।
परीक्षा की समस्या
गणित में GIA के कार्यों में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, अक्सर चेकर्ड पेपर पर त्रिकोण का क्षेत्र खोजना आवश्यक होता है।
इस मामले में, आकृति के किसी एक पक्ष की ऊंचाई खींचना सबसे सुविधाजनक है, कोशिकाओं द्वारा इसकी लंबाई निर्धारित करें और क्षेत्र खोजने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करें:
अतः लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद आपको किसी भी प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्या नहीं होगी।