ถ้าสลัดมีรสขมสามารถรับประทานได้ วิธีกำจัดความขมในใบผักกาด

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่รู้จักกันดี และนี่แม้จะมีรูปแบบที่หลากหลาย สี่เหลี่ยม, ด้านเท่ากันหมด, เฉียบพลัน, หน้าจั่ว, ป้าน แต่ละคนแตกต่างกันบ้าง แต่สำหรับการใด ๆ จำเป็นต้องรู้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่ใช้ในพวกเขา: ด้าน - a, b, c; ความสูงที่ด้านที่สอดคล้องกันบน a, n in, ns

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ½ด้านและความสูงลดลง S = ½ * a * n ก. ในทำนองเดียวกัน ควรเขียนสูตรสำหรับอีกสองด้านที่เหลือ

2. สูตรของนกกระสาซึ่งครึ่งปริมณฑลปรากฏขึ้น (เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ตรงกันข้ามกับปริมณฑลเต็ม) ต้องคำนวณกึ่งปริมณฑลดังนี้: บวกทุกด้านแล้วหารด้วย 2 สูตรกึ่งปริมณฑล: p \u003d (a + b + c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันสำหรับพื้นที่ของ \ ตัวเลขมีลักษณะดังนี้: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c))

3. หากคุณไม่ต้องการใช้กึ่งปริมณฑลสูตรดังกล่าวจะมีประโยชน์ซึ่งมีเฉพาะความยาวของด้านเท่านั้น: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)) มันค่อนข้างยาวกว่าก่อนหน้านี้ แต่จะช่วยได้ถ้าคุณลืมวิธีหากึ่งปริมณฑล

สูตรทั่วไปที่มีมุมของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น

สัญกรณ์ที่จำเป็นสำหรับการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกเขานอนด้านตรงข้าม a, b, c ตามลำดับ

1. ตามนั้น ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างพวกมันเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและมุมที่รู้จักสามมุม S \u003d (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3. นอกจากนี้ยังมีสูตรที่มีด้านที่รู้จักหนึ่งด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน ดูเหมือนว่านี้: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์เมื่อทราบรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกหรือล้อมรอบ

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R — รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ประการที่สองมีไว้สำหรับคนที่อธิบายไว้

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กับกึ่งปริมณฑล S = r * ร. ในอีกทางหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: S \u003d ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยรัศมีสี่เท่าของวงกลมที่ล้อมรอบ ตามตัวอักษรดูเหมือนว่านี้: S \u003d (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณต้องการค่าของทั้งสามมุม S \u003d 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด เนื่องจากต้องใช้ความยาวของขาทั้งสองเท่านั้น พวกมันเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน a และ b พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เพิ่มเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า: S = ½ a * b เธอจำง่ายที่สุด เนื่องจากดูเหมือนสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงปรากฏเพียงเศษส่วนซึ่งหมายถึงครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากสองด้านเท่ากัน สูตรบางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูเรียบง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น สูตรของ Heron ซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ใช้รูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

ถ้าแปลงจะสั้นลง ในกรณีนี้ สูตรของนกกระสาสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนดังนี้:

S = ¼ นิ้ว √ (4 * a 2 - b 2)

สูตรพื้นที่จะดูง่ายกว่าสามเหลี่ยมทั่วไปถ้ารู้ด้านและมุมระหว่างพวกมัน S \u003d ½ a 2 * บาปβ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติ ในปัญหาของเขา ฝ่ายนั้นเป็นที่รู้จักหรือสามารถรับรู้ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง จากนั้นสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีดังนี้

S = (a 2 √3) / 4

ภารกิจในการค้นหาพื้นที่ถ้ารูปสามเหลี่ยมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อสามเหลี่ยมมุมฉากถูกวาดเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นคุณต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อสามเหลี่ยมแหลมหรือป้าน จะต้องวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นในรูปผลลัพธ์จะมี 3 สามเหลี่ยม หนึ่งคือหนึ่งที่กำหนดในงาน และอีกสองอันเป็นตัวเสริมและสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายจะต้องกำหนดโดยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วลบออกจากส่วนที่คำนวณสำหรับตัวเสริม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนด

ยากกว่านั้นมากคือสถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อให้จุดยอดของร่างเดิมอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้ จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากเสริมสามรูป

ตัวอย่างโจทย์สูตรนกกระสา

สภาพ. สามเหลี่ยมบางอันมีด้าน พวกมันมีขนาดเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องรู้พื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรข้างต้น ใต้รากที่สองเป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือพื้นที่คือ √ (4 * 14) = 2 √ (14)

หากคุณไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหาสแควร์รูทของ 14 ได้ มันคือ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับ 7.48

ตอบ. S \u003d 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก

สภาพ. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากยาวกว่าขาที่สอง 31 ซม. ต้องหาความยาวของมันว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับ 180 ซม. 2
วิธีการแก้. คุณต้องแก้ระบบสมการสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ ประการที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งกำหนดไว้ในปัญหา
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
ขั้นแรก ต้องแทนที่ค่าของ "a" ลงในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 \u003d ½ (ใน + 31) * นิ้ว มีปริมาณที่ไม่รู้จักเพียงปริมาณเดียว ดังนั้นจึงแก้ได้ง่าย หลังจากเปิดวงเล็บจะได้สมการกำลังสอง: ใน 2 + 31 ใน - 360 \u003d 0 มันให้ค่าสองค่าสำหรับ "ใน": 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะกับคำตอบ เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นค่าลบได้

มันยังคงคำนวณขาที่สอง: เพิ่ม 31 เข้ากับจำนวนผลลัพธ์ ปรากฎว่า 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในปัญหา

ตอบ. ขาของสามเหลี่ยมคือ 9 และ 40 ซม.

งานหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของสามเหลี่ยม

สภาพ. พื้นที่ของสามเหลี่ยมบางรูปคือ 60 cm2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างพวกเขาคือ30º

วิธีการแก้. ตามการกำหนดที่ยอมรับ ด้านที่ต้องการคือ "a" รู้จัก "b" มุมที่กำหนดคือ "γ" จากนั้นสูตรพื้นที่สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

60 \u003d ½ a * 15 * บาป30º ที่นี่ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากแปลงแล้ว "a" จะกลายเป็น 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

ตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

ปัญหาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

สภาพ. จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. เกิดขึ้นพร้อมกับมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนอยู่บนขา ที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของขาข้างหนึ่งเท่ากับ 42 ซม. พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือเท่าไร?

วิธีการแก้. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป อันแรกระบุไว้ในงาน อันที่สองอิงจากขาที่รู้จักของสามเหลี่ยมเดิม มีความคล้ายคลึงกันเพราะมีมุมร่วมและเกิดขึ้นจากเส้นคู่ขนาน

จากนั้นอัตราส่วนของขาก็เท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าคือ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ขาที่ระบุ 42 ซม. ลบด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่คือ 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

18/42 \u003d 24 / x นั่นคือ x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (ซม.)

แล้วพื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วยสอง นั่นคือ 1176 ซม. 2

ตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดของพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะเกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หนึ่งหน่วยของรูปทรงเรขาคณิต เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งด้านนั้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง เพื่อความสมบูรณ์ เราระลึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:หากตัวเลขทางเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็เท่ากัน

ทรัพย์สิน 2:ตัวเลขใด ๆ สามารถแบ่งออกเป็นหลายตัวเลข นอกจากนี้ พื้นที่ของตัวเลขเดิมจะเท่ากับผลรวมของค่าพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดที่ประกอบขึ้นเป็น

ขอพิจารณาตัวอย่าง.

ตัวอย่าง 1

เห็นได้ชัดว่าด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมคือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีความยาวด้านหนึ่ง $5$ (ตั้งแต่ $5$ เซลล์) และอีก $6$ (ตั้งแต่ $6$ เซลล์) ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังกล่าว พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ

คำตอบ: $15$

ต่อไป ให้พิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ได้แก่ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรนกกระสาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐาน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านคูณกับความสูงที่ลากไปทางด้านนั้น

ทางคณิตศาสตร์ก็จะประมาณนี้ค่ะ

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากเข้าไป

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้และเท่ากับ $h$ มาสร้างเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2

พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และของสี่เหลี่ยม $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้น พื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 เท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่าง ถ้าเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้คือ $9$ (เนื่องจาก $9$ เป็น $9$ เซลล์) ความสูงยังเป็น $9$ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$

สูตรนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

ถ้าเราให้สามเหลี่ยมสามด้าน $α$, $β$ และ $γ$ สามด้าน จะได้พื้นที่ดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ที่นี่ $ρ$ หมายถึง ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

ตั้งแต่ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ดังนั้น

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถใช้สูตรต่างๆ จากวิธีการทั้งหมด วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดคือการคูณความสูงด้วยความยาวของฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสอง อย่างไรก็ตาม วิธีนี้อยู่ไกลจากวิธีเดียวเท่านั้น ด้านล่างนี้ คุณสามารถอ่านวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่างๆ ได้

เราจะพิจารณาวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทเฉพาะ - สี่เหลี่ยม, หน้าจั่วและด้านเท่ากันหมด เรามาพร้อมกับแต่ละสูตรพร้อมคำอธิบายสั้นๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของสูตร

วิธีสากลในการหาพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรด้านล่างใช้สัญกรณ์พิเศษ เราจะถอดรหัสแต่ละรายการ:

a, b, c คือความยาวของด้านทั้งสามของรูปที่เรากำลังพิจารณา
r คือรัศมีของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมของเรา
R คือรัศมีของวงกลมที่สามารถอธิบายได้รอบๆ
α - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน b และ c;
β คือมุมระหว่าง a และ c;
γ - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน a และ b;
h คือความสูงของสามเหลี่ยมของเรา ซึ่งลดลงจากมุม α ไปทางด้าน a;
p คือผลบวกครึ่งหนึ่งของด้าน a, b และ c

มีเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมคุณสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ได้ สามเหลี่ยมจะเขียนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานอย่างง่ายดาย โดยด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานหาได้จากการคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยค่าของความสูงที่ลากเข้าไป เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเงื่อนไขนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน 2 รูป ดังนั้นจึงค่อนข้างชัดเจนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมของเราควรเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมนี้

S=½ a b บาป γ

ตามสูตรนี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมหาได้จากการคูณความยาวของด้านทั้งสอง นั่นคือ a และ b ด้วยไซน์ของมุมที่พวกมันก่อตัว สูตรนี้มาจากตรรกะก่อนหน้านี้ หากเราลดความสูงจากมุม β ไปทางด้าน b จากนั้น ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อคูณความยาวของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ เราจะได้ความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ h

พื้นที่ของรูปที่กำลังพิจารณาหาได้จากการคูณรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมซึ่งสามารถจารึกไว้ตามเส้นรอบวง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบผลคูณของเซมิปริมิเตอร์และรัศมีของวงกลมดังกล่าว

S= a b c/4R

ตามสูตรนี้ ค่าที่เราต้องการหาได้จากการหารผลคูณของด้านข้างของรูปด้วยรัศมี 4 ของวงกลมที่ล้อมรอบมัน

สูตรเหล่านี้เป็นสากลเนื่องจากทำให้สามารถกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ (สเกล, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด, มุมฉาก). สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราจะไม่อยู่ในรายละเอียด

พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติจำเพาะ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? ลักษณะเด่นของรูปนี้คือด้านทั้งสองมีความสูงพร้อมกัน ถ้า a และ b เป็นขา และ c กลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะได้พื้นที่ดังนี้

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? มี 2 ด้านยาว a และด้านยาว b ดังนั้น พื้นที่ของมันสามารถกำหนดได้โดยการหารด้วย 2 ผลคูณของกำลังสองของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร? ในนั้น ความยาวของทุกด้านคือ a และค่าของมุมทั้งหมดคือ α ความสูงของมันคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยสแควร์รูทของ 3 ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องใช้กำลังสองของด้าน a คูณด้วยสแควร์รูทของ 3 แล้วหารด้วย 4

แนวคิดของพื้นที่

คุณสมบัติ 1:หากตัวเลขทางเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็เท่ากัน

ขอพิจารณาตัวอย่าง.

ตัวอย่าง 1

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ

คำตอบ: $15$

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐาน

ทฤษฎีบท 1

ทางคณิตศาสตร์ก็จะประมาณนี้ค่ะ

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากเข้าไป

การพิสูจน์.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และของสี่เหลี่ยม $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้น พื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 เท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่าง ถ้าเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$

สูตรนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

ถ้าเราให้สามเหลี่ยมสามด้าน $α$, $β$ และ $γ$ สามด้าน จะได้พื้นที่ดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ที่นี่ $ρ$ หมายถึง ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

ตั้งแต่ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ดังนั้น

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตทั่วไปที่เราคุ้นเคยกันดีในโรงเรียนประถม นักเรียนทุกคนต้องเผชิญกับคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิต ดังนั้นคุณลักษณะของการค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนดคืออะไรที่สามารถแยกแยะได้? ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการทำงานดังกล่าวให้เสร็จสิ้น และวิเคราะห์ประเภทของสามเหลี่ยมด้วย

ประเภทของสามเหลี่ยม

คุณสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้ด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง เพราะในเรขาคณิต มีรูปทรงมากกว่าหนึ่งประเภทที่มีสามมุม ประเภทเหล่านี้รวมถึง:

ป้าน.
ด้านเท่ากันหมด (ถูกต้อง)
สามเหลี่ยมมุมฉาก.
หน้าจั่ว.

มาดูสามเหลี่ยมแต่ละประเภทที่มีอยู่กันดีกว่า

รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวถือเป็นรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต เมื่อจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ ตัวเลือกนี้ช่วยคุณได้

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ตามที่ชื่อบอกไว้ มุมทั้งหมดเป็นมุมแหลมและรวมกันได้ 180°

สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดามากเช่นกัน แต่ค่อนข้างน้อยกว่ารูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สามเหลี่ยม (นั่นคือ คุณทราบหลายด้านและมุมของมัน และจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่เหลือ) บางครั้งคุณจำเป็นต้องพิจารณาว่ามุมนั้นมีลักษณะป้านหรือไม่ โคไซน์เป็นจำนวนลบ

ในค่าของมุมใดมุมหนึ่งจะเกิน 90° ดังนั้น อีกสองมุมที่เหลือจึงสามารถรับค่าเล็กน้อยได้ (เช่น 15° หรือ 3°)

ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ความแตกต่างบางประการ ซึ่งเราจะพูดถึงต่อไป

สามเหลี่ยมธรรมดาและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปที่มี n มุม ซึ่งด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° แต่ละมุมทั้งสามคือ 60°

สามเหลี่ยมมุมฉากเนื่องจากคุณสมบัติของมันจึงเรียกว่ารูปด้านเท่า

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติและสามารถล้อมรอบได้เพียงวงกลมเดียวเท่านั้นและจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเดียว

นอกจากประเภทด้านเท่าแล้ว เรายังสามารถแยกความแตกต่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งแตกต่างจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเล็กน้อย ในสามเหลี่ยมดังกล่าว ด้านสองด้านและมุมสองมุมจะเท่ากัน และด้านที่สาม (ซึ่งมุมเท่ากันติดกัน) เป็นฐาน

รูปภาพแสดง DEF สามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีมุม D และ F เท่ากัน และ DF เป็นฐาน

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีชื่อเช่นนี้เนื่องจากมุมหนึ่งของมันคือมุมฉาก นั่นคือ เท่ากับ 90° อีกสองมุมรวมกันได้ 90°

ด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมดังกล่าวซึ่งอยู่ตรงข้ามมุม 90 ° คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขณะที่อีกสองด้านคือขา สำหรับสามเหลี่ยมประเภทนี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ได้:

ผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา เท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปแสดง BAC สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก AC และขา AB และ BC

ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก คุณจำเป็นต้องรู้ค่าตัวเลขของขาของมัน

ไปที่สูตรเพื่อค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด

สูตรพื้นฐานในการหาพื้นที่

ในเรขาคณิต สามารถจำแนกได้สองสูตรซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเกือบทุกประเภท ได้แก่ สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมป้าน มุมปกติ และสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มาวิเคราะห์กันทีละอย่าง

ด้านข้างและความสูง

สูตรนี้เป็นสูตรสากลในการหาพื้นที่ของรูปที่เรากำลังพิจารณา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลากเข้าไป สูตรเอง (ครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง) มีดังนี้:

โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด และ H คือความสูงของสามเหลี่ยม

ตัวอย่างเช่น ในการหาพื้นที่ของ ACB สามเหลี่ยมมุมแหลม คุณต้องคูณ AB ด้านนั้นด้วยความสูง CD แล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วยสอง

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ง่ายเสมอไปที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ในการใช้สูตรนี้สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน คุณต้องทำด้านใดด้านหนึ่งต่อจากนั้นจึงวาดความสูงลงไป

ในทางปฏิบัติ สูตรนี้ใช้บ่อยกว่าสูตรอื่น

สองด้านและมุม

สูตรนี้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า เหมาะสำหรับรูปสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ และในความหมายของสูตรนี้เป็นผลมาจากสูตรการหาพื้นที่ด้านข้างและความสูงของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือสูตรที่พิจารณาสามารถอนุมานได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า ถ้อยคำมีลักษณะดังนี้:

S = ½*sinO*A*B,

โดยที่ A และ B คือด้านของสามเหลี่ยม และ O คือมุมระหว่างด้าน A และ B

โปรดจำไว้ว่า ไซน์ของมุมสามารถดูได้ในตารางพิเศษที่ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตที่โดดเด่น V. M. Bradis

และตอนนี้เรามาดูสูตรอื่นๆ ที่เหมาะกับสามเหลี่ยมประเภทพิเศษเท่านั้น

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากสูตรสากลซึ่งรวมถึงความจำเป็นในการวาดความสูงในรูปสามเหลี่ยมแล้วยังสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากได้จากขาของมัน

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขาของมัน หรือ:

โดยที่ a และ b คือขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้โดดเด่นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถหาพื้นที่ได้ด้วยค่าที่ระบุด้านใดด้านหนึ่งเท่านั้น (เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน) เมื่อพบกับภารกิจ "หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อด้านเท่ากัน" คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

S = A 2 *√3 / 4,

โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรนกกระสา

ตัวเลือกสุดท้ายในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือสูตรของนกกระสา เพื่อที่จะใช้ คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของทั้งสามด้านของรูป สูตรของนกกระสามีลักษณะดังนี้:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c)

โดยที่ a, b และ c คือด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด

บางครั้งงานที่ได้รับ: "พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติคือการหาความยาวของด้านของมัน" ในกรณีนี้ คุณต้องใช้สูตรที่เรารู้จักอยู่แล้วในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติและหาค่าของด้าน (หรือกำลังสองของมัน):

A 2 \u003d 4S / √3